К.Алипрантис, Д.Браун, О.Бёркеншо: "Существование и оптимальность конкурентного равновесия"

Предлагаемая вниманию читателя монография, написанная известными американскими математиками-экономистами, посвящена математической теории экономического равновесия. Речь идет об обобщении классической проблемы, восходящей к работам Л.Вальраса середины XIX в., о нахождении системы цен на товары (блага), балансирующих спрос и предложение при распределении этих товаров между потребителями. Современные постановки этой задачи носят название модели Эрроу-Дебре. Основная проблематика здесь связана с теоремами существования вальрасовского (или конкурентного) равновесия и различными понятиями оптимальности соответствующего распределения ресурсов (парето-оптимальность, ядро).

Классическая модель Эрроу-Дебре формулируется для случая конечного множества товаров. Здесь достаточен аппарат теории конечномерных пространств, в основном разнообразные формы теоремы о неподвижной точке для многозначных отображений. Однако в реальности один и тот же товар может находиться в различных точках физического пространства, производиться и потребляться в разные моменты времени, обладать тем или иным качеством. В этом случае удобно рассматривать его как различные товары.

Сходная ситуация возникает и при учете в моделях равновесия стохастических факторов.

Указанные обстоятельства в известной мере простимулировали изучение модели Эрроу-Дебре в бесконечномерных пространствах.

Условие положительности вектора цен и естественное отношение порядка между комплектами товаров приводят к необходимости рассмотрения задачи в упорядоченных векторных пространствах, что было впервые сделано в работе Д.Крепса (1981 г.). Двое из авторов настоящей монографии (К.Алипрантис и Д.Браун) развили вскоре после этого подход к теории равновесия в дуальных парах векторных решеток, который и положен в основу изложения. При этом пространство товаров отождествляется с векторной решеткой Е, а вектор цен — с положительным функционалом на Е, являющимся элементом двойственной векторной решетки Е^*. В рамках этого общего подхода авторам удалось найти удивительно ясные и почти элементарные по технике доказательства всех основных фактов теории конкурентного равновесия. Именно использование идей упорядочения является отличительной чертой данной книги, основанной на результатах исследований последнего десятилетия. Излагаемая теория, несмотря на свою молодость, достаточно апробирована (в 1984 г. в Индианополисе состоялась конференция по общей теории равновесия, труды которой были опубликованы в сборнике Advances in Equilibrium Theory. Editors: С.D.Aliprantis, O.Burkinshaw, N.J.Rothman, Lecture Notes in Economics and Math. Systems, vol.244, 1985.

В гл. 1, занимающей первую треть книги, авторы дают полное математическое изложение классической теории Эрроу-Дебре (случай конечномерного пространства). Доказательства снабжены многочисленными рисунками для пояснения основных идей — совершенно строгое математическое изложение здесь доступно широким кругам читателей, в том числе — нематематикам. Изложение результатов, за которые были присуждены Нобелевские премии по экономике (К.Эрроу — 1972 г., Ж.Дебре — 1983 г.), несомненно, представляет интерес для отечественного читателя.

Глава 2 служит кратким введением в теорию пространств Рисса. Отметим, что "пространствами Рисса" авторы называют векторные решетки, впервые введенные советским математиком Л. В. Канторовичем в 1935 г. За более систематическим изложением теории векторных решеток мы отсылаем читателя к гл. 10 монографии: Канторович Л.В., Акилов Г.П. Функциональный анализ. — 3-е изд. — М.: Наука, 1984.

Главы 3 и 4 составляют ядро монографии. В них для случая конечного числа потребителей и фирм, но бесконечного числа товаров строится теория вальрасовского равновесия сначала для экономики обмена, а затем для экономики с производством. Доказательства основаны в значительной степени на слабой компактности (в подходящих топологиях) порядковых интервалов в векторных решетках. Кроме работ авторов монографии, здесь отражены результаты целого ряда других ученых. Первые теоремы в указанном направлении были получены в начале 1970-х годов Т.Быоли и Б.Пелегом и М.Яари. Впоследствии крупный вклад в теорию внес А.Мас-Колелл.

Глава 5 "Модель перекрывающихся поколений" посвящена изучению равновесия в одной специальной модели обмена со счетным числом поколений участников, каждое из которых состоит из конечного числа участников, живущих конечное время. Эта модель является развитием известной идеи П.Самуэльсона, который в свою очередь опирался на классическую работу И.Фишера "Теория процента" 1930 г. [28].

Монография написана ясно — изложение замкнуто в себе. Как отмечают во введении сами авторы, она "рассчитана на то, чтобы служить одновременно учебником по общей теории равновесия и введением для экономистов и математиков, работающих в области математической экономики, в круг самых современных исследований по общей теории равновесия".

На русском языке уже имеется ряд монографий, тематика которых в той или иной степени связана с материалом настоящей книги.

Подробное изложение модели Эрроу-Дебре, примыкающее к первой главе рассматриваемой монографии, имеется в книге X.Никайдо "Выпуклые структуры и математическая экономика" [52].

В монографии В.Л.Макарова и А.М.Рубинова "Математическая теория экономической динамики и равновесия" (М.: Наука, 1973) приведен динамический вариант модели Эрроу-Дебре.

Для начального ознакомления с теорией конкурентного равновесия может быть рекомендован учебник С.А.Ашманова "Введение в математическую экономику" (М.: Наука, 1984).

Изложение модели Эрроу-Дебре и связанных с ней моделей с неравновесными ценами, ориентированное на широкий круг читателей, можно найти в монографии В.М.Полтеровича "Экономическое равновесие и хозяйственный механизм" (М.: Наука, 1990).

И, наконец, следует упомянуть монографию В.Гильденбранта "Ядро и равновесие в большой экономике" (М.: Наука, 1986), в которой вальрасовское равновесие в случае бесконечного числа участников изучается в связи с теорией коалиционных игр.